数学におけるベクトルの内積は、2つのベクトルの関係を理解するための非常に重要なツールです。ここでは、内積の定義や公式、具体的な求め方について詳しく解説します ✍️。
内積（または点積）は、2つのベクトルの長さとそれらの間の角度によって決定されるスカラー量です。具体的には、内積は次のように定義されます：
内積 \[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos(\theta)\]
ここで、\(|\overrightarrow{a}|\) と \(|\overrightarrow{b}|\) はそれぞれベクトルの大きさ、\(\theta\) はそれらの間の角度です。
内積の求め方には主に2つのアプローチがあります。
先ほどの定義式を使って、ベクトルの大きさと成角に基づいて内積を計算できます。
ベクトル \(\overrightarrow{a} = (a_1, a_2)\) および \(\overrightarrow{b} = (b_1, b_2)\) に対して、内積は次のように計算されます：
\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2\]
内積には以下のような興味深い性質があります：
具体的な例を考えてみましょう。ベクトル \(\overrightarrow{a} = (3, 4)\) と \(\overrightarrow{b} = (1, 2)\) の内積を求めます。
内積を求める公式を使うと、次のように計算します：
\(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \times 1 + 4 \times 2 = 3 + 8 = 11\)内積は、幾何学や物理学の問題で非常に役に立ちます。特に、力や角度の計算に使われます。例えば、二つの力の間の角度を求めることができます:
内積を使った角度の計算は、物理学の非常に重要な技術です。
内積は、数学や物理学での基本的な概念です。公式を使って計算することができ、幾何学的な理解にもつながります。ぜひ、練習してさまざまな問題を解いてみてください！